彈珠和陀螺的游戲—制造“超均勻”智能流體材料

無序超均勻態(tài)

物質(zhì)一般可分為有序態(tài)和無序態(tài)。有序態(tài)在空間上分布均勻齊整，比如晶體以及準晶（見圖1B）。而在無序態(tài)中，粒子的位置有很強的隨機性，造成了分布的疏密不均（見圖1A）。無序態(tài)涵蓋了氣態(tài)、液體、玻璃態(tài)等物態(tài)。2003年，美國普林斯頓大學(xué)化學(xué)系S. Torquato教授，提出了介于無序和有序之間的一種新的物態(tài)，即無序超均勻態(tài)。在小尺度上觀察，這種結(jié)構(gòu)顯得毫無規(guī)律，但在大尺度上卻具有晶體相似的均勻性（見圖1C）。

在大自然以及數(shù)學(xué)世界中，科學(xué)家都發(fā)現(xiàn)了無序超均勻態(tài)的蹤影，例如鳥類視網(wǎng)膜上的視錐細胞分布、質(zhì)數(shù)的分布、隨機矩陣的本征值分部、硬球的密堆積、宇宙大尺度結(jié)構(gòu)等。無序超均勻態(tài)也具有很多奇特性質(zhì)和用途，例如，它能像晶體一樣產(chǎn)生光子帶隙，并且對某些波長的光是完全通透的（超透明性）。不僅如此，這種分布也在數(shù)值抽樣和計算機圖形學(xué)領(lǐng)域運用廣泛，比如，具有超均勻分布的偽隨機數(shù)可以極大加速蒙特卡洛抽樣的速度（隨機打點法計算π值），同時用超均勻的無序點陣進行抽樣繪圖不僅可以克服圖形失真（“反鋸齒”），還可以用最少的像素點畫出最佳的圖像（見圖2）[1,2]。

 圖1：粒子分部的均勻性可由窗口內(nèi)粒子數(shù)N的漲落（方差） 的標度率來反映（d為維度）。λ=0意味著體系的粒子數(shù)漲落正比于粒子數(shù)本身，即泊松過程或隨機分布（圖A）；而 λ=1則意味體系有著晶體般的超均勻性（圖B）。0＜λ≤1都屬于超均勻態(tài)。（圖片編輯自[1]）

超均勻流體 

目前無序超均勻態(tài)的研究主要集中在無序固體。今年年初，新加坡南洋理工大學(xué)的一個理論研究小組首次提出了超均勻流體的概念，并且利用了自驅(qū)動膠體體系模擬驗證了這種特殊流體的存在（見鏈接[3]）。但是這種特殊流體的形成機制，以及其與平衡態(tài)流體的本質(zhì)區(qū)別仍然是一個未解之謎。與此同時，理論上也缺少描述這種奇異流體的流體力學(xué)方程。最近該小組的雷群利博士和倪冉教授對這個問題進行了深入的探索，他們通過構(gòu)建一種簡單的“彈珠”模型，巧妙地實現(xiàn)了從簡單流體到超均勻流體的平滑過度，不僅如此，他們還發(fā)現(xiàn)超均勻流體在理論上具有非常簡潔優(yōu)美的流體力學(xué)方程形式?；谶@套理論，超均勻流體的形成機制可以用簡單的諧振子模型來理解。最后，作者還通過模擬展示了如何利用簡單自驅(qū)動“陀螺”制造這種超均勻流體。相關(guān)工作于近期發(fā)表于《美國科學(xué)院院刊》上。

圖2：超均勻點陣可用于消除圖的水狀波紋（上）和圖形視覺優(yōu)化（下）右下角是這種點陣的結(jié)構(gòu)因子S（q）。（圖片來自 [4]）

“彈珠”模型

作者研究的是一種非平衡態(tài)的硬球體系（圖3）。這個模型類似于普通彈珠在有摩擦的平面上運動，即硬球會受到和速度大小成正比的阻尼（摩擦）力，并且兩球碰撞滿足動量守恒。該體系和彈珠碰撞不同的地方是，在碰撞過程中，會有額外的能量輸入給相碰的兩個硬球，使兩個硬球在碰撞后的總動力增加？E，這被稱作“激發(fā)碰撞”（activecollision）。在這個體系中激發(fā)碰撞提供能量輸入，阻尼力又把能量耗散掉。這種“驅(qū)動-耗散”（drivendissipation）機制是活力物質(zhì)體系的基本特征。體系的最終運動狀態(tài)還是取決于兩個特征長度。一個是耗散距離，即在？E的激發(fā)下，靜止硬球可以運動的最遠距離。如果我們固定？E 不變，那么這個距離完全由摩擦系數(shù)決定。所以，其實反映了硬球在阻尼系統(tǒng)中“慣性”的大小。另一個特征長度是“平均自由程”  （mean free path）即硬球在兩次碰撞之間平均的運動距離。這個特征長度反映的是硬球體系疏密程度，越稀的體系，硬球之間越不容易碰撞，平均自由程就越大。

作者分析發(fā)現(xiàn)當在初始時刻賦予粒子隨機速度后，如果   ，體系的碰撞事件數(shù)會隨著時間指數(shù)減小，最終體系陷入所謂的“吸收態(tài)”（absorbingstate），即每個硬球的速度衰減為零。相反，如果，體系的激發(fā)碰撞會產(chǎn)生“鏈式反應(yīng)”，使體系保持在一種持續(xù)碰撞但“溫度”恒定的狀態(tài)，即活力態(tài)（active state）。這里的“溫度”恒定指的是體系的平均動能不變。作者發(fā)現(xiàn)，這種活力態(tài)就是一種超均勻態(tài)流體，其結(jié)構(gòu)因子滿足標度率S（q）~ q2（見圖4A）。這里q 代表的是波矢量，S（q）反映的是體系在波長為2π/q 的尺度上密度漲落的大小。有意思的是，隨著硬球慣性（）逐漸變大并趨向無窮（對應(yīng)無摩擦），體系會升溫，并且S（q）在小波矢區(qū)域會慢慢抬升（圖4A），最后轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀ㄆ胶鈶B(tài)流體的標度率，即S（q）~ q0（const）。硬球的速度分布也從非玻爾茲曼分布，轉(zhuǎn)變?yōu)椴柶澛植迹▓D4F）。也就是說，通過調(diào)節(jié)摩擦力或者？E，我們可以使平衡態(tài)硬球流體平滑過度到非平衡態(tài)超均勻流體……

 圖3：（A）研究模型。（B）二維體系的超均勻流體 （不同顏色代表不同速度方向）。

超均勻流體的流體力學(xué)方程和流體動力學(xué) 

為了研究這種奇特流體的流體力學(xué)機理，通過分析推導(dǎo)，作者發(fā)現(xiàn)了這種超均勻流體滿足如下的流體力學(xué)方程：

這個流體力學(xué)方程的形式非常簡潔：其中第一個方程代表粒子數(shù)守恒，第二個方程代表動量守恒。由于有阻尼力的存在（綠框），體系動量實際上是不守恒的。激發(fā)碰撞反映在紅框的噪聲項里。這套理論的預(yù)測和模擬結(jié)果高度吻合（圖4的虛線），佐證了這套流體力學(xué)的正確性。動力學(xué)上，這套理論成功預(yù)測了超均勻流體的漲落形式不僅可以是擴散模（diffusive mode）也可以是聲學(xué)模（acoustic mode）（圖4G）。體系的動力學(xué)相圖在圖4E里給出。另外，作者還測量了超均勻流體的密度漲落的“色噪聲”，發(fā)現(xiàn)色噪聲的譜函數(shù)在低頻滿足特殊的f1/2的標度率（圖 4B），這個發(fā)現(xiàn)有助于在頻率空間探測和研究這種超均勻流體。

圖4：（A）不同慣性（）大小的硬球體系的結(jié)構(gòu)因子S（q），其中q 為波矢量，q2代表超均勻標度率；（B）密度漲落的譜函數(shù) f 隨頻率的變化，其中f -1/2為超均勻標度率。；（C，D）平衡態(tài)流體和超均勻流體的諧振子模型。（F）超均勻流體中粒子速度分布隨著的增加慢慢過度到玻爾茲曼分布。（E）體系的動力學(xué)相圖。（G）動力學(xué)結(jié)構(gòu)因子S（ω，q），其中三峰曲線的左右兩側(cè)峰是Brillouin峰，代表了聲學(xué)模，藍線的單峰代表了擴散模。注：虛線為理論預(yù)測。

超均勻流體的機理解釋—諧振子模型

我們知道，根據(jù)傅里葉分解，任何形狀的方程都可以看作為無數(shù)不同波長的正弦波的疊加。同樣地，密度漲落也可以看成是眾多的疏密相間的正弦波漲落（密度模）的疊加，結(jié)構(gòu)因子 或者就是代表了在波長2π/q的尺度上的正弦波振幅。通過理論推導(dǎo)，作者發(fā)現(xiàn)滿足一個非常熟悉的二階動力學(xué)方程：

這個方程與熱浴中諧振子的動力學(xué)方程完全一樣，其中可以看成諧振子的“位移”q-2可以看成諧振子的“質(zhì)量”，右邊第一項括號里可以看成諧振子的阻尼系數(shù)，右邊第二項是回復(fù)力（正比于位移），最后一項是熱浴的噪聲。也就是說，流體在某個波矢量q的密度漲落可以看成是一種抽象的諧振子振動（圖4C,D）。我們知道，諧振子主要有兩種運動模式：一種是在阻尼系數(shù)比較小時的“共振態(tài)”（圖4C），另一種是在阻尼系數(shù)比較大時的“過阻尼態(tài)”（圖4D）。共振態(tài)下，流體中疏密相間的密度模會表現(xiàn)出一種“彈性”并來回震蕩，形成向前或者向后傳播的“聲波”；在“過阻尼態(tài)”下，密度模失去了彈性，產(chǎn)生之后就原地衰減，像冰淇淋融化一樣慢慢鋪平，形成一種“擴散波”。對于平衡態(tài)流體，在諧振子的阻尼系數(shù)（）和在熱浴溫度不變的情況下，根據(jù)能量均分定理，諧振子的振幅是不變的。也就是說，對于理想平衡態(tài)流體，不同波長下的密度漲落幅度是一樣的，即S（q）~const. 這和圖3A所示的結(jié)果完全一致的。然而，對于超均勻流體，我們發(fā)現(xiàn)隨著波矢q慢慢減小到0，諧振子的阻尼系數(shù)會變?yōu)闊o窮大，導(dǎo)致諧振子的振幅為零。也就是說，密度漲落在無限長波長下為零，這正是超均勻態(tài)的定義。這個簡單而具有啟發(fā)性的模型同時也可以解釋之前所述的超均勻流體的動力學(xué)性質(zhì)。

“陀螺”模型

根據(jù)上面的理論分析，作者最后提出了一個實際模型來實現(xiàn)超均勻流體態(tài)，即自驅(qū)動的“陀螺”（spinner）集群。在外力矩（比如旋轉(zhuǎn)磁場）的驅(qū)動下，陀螺會自發(fā)高速旋轉(zhuǎn)。當兩個陀螺碰撞時，陀螺的旋轉(zhuǎn)動能會轉(zhuǎn)變?yōu)槠揭苿幽?，使兩個陀螺相互彈開，從而實現(xiàn)“彈珠”模型中的“激發(fā)碰撞”（見圖5A）。在有摩擦的條件下，作者發(fā)現(xiàn)這種“陀螺”集群會呈現(xiàn)出與之前“彈珠”模型一樣的超均勻標度（圖5B），并且體系中密度漲落的譜函數(shù)的標度率也和“彈珠”模型完全相同。這個實際體系證明了作者理論中所揭示超均勻流體機制的普適性。不僅如此，通過文獻調(diào)研，作者也在“微型陀螺”的實驗體系發(fā)現(xiàn)了超均勻流體存在的證據(jù)。

圖5:（A）二維底板上，由外力矩驅(qū)動下高速旋轉(zhuǎn)的陀螺滿足“碰撞激發(fā)”的條件。（B）結(jié)構(gòu)因子S（q）顯示陀螺集群是一種超均勻流體。（C）陀螺集群的密度漲落的譜函數(shù)和簡單硬球模型圖4B基本相同。

結(jié) 語

總之，作者通過提出了一個簡單的“彈珠”模型研究了超均勻流體的形成機理，發(fā)現(xiàn)只要滿足相互的“碰撞激發(fā)”和“摩擦耗散”這兩個條件就可以產(chǎn)生超均勻流體態(tài)。為了進一步地證明結(jié)論的普適性，作者還展示了如何利用自驅(qū)動的“陀螺”集群實現(xiàn)超均勻流體，這對實驗具有極強的指導(dǎo)意義。在理論上作者也做出了突出貢獻，不僅首次發(fā)現(xiàn)了超均勻流體的流體力學(xué)方程，還提出了啟發(fā)性的諧振子模型來幫助理解超均勻流體態(tài)。從材料學(xué)角度上看，這種超均勻流體有望成為一種具有“自修復(fù)”和“自適應(yīng)”的智能活性流體材料，比如活性“光子液體”。這種流體材料不僅具有像光子晶體一樣的光學(xué)性質(zhì)，而且活性“光子液體”即使受到機械損傷，也可以自我修復(fù)，同時也可隨著外場驅(qū)動的變化改變自己的光學(xué)性質(zhì)，是不是很科幻呢？